Question

已知定义在（-1，0）∪（0，1）上的偶函数f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=

3x

9x+1

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x∈（-1，0）时，f（x）＜t恒成立，求实数t的取值范围；
（3）若常数S∈（2，

20

3

），解关于x的不等式Sf（x）-1＜0．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）转化为x∈（-1，0）时，-x∈（0，1）利用已知求解．（2）求解f（x）的最大值即可，求出t 的范围．（3）结合函数的性质，利用均值不等式求解出答案．

解答： 解：（1）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1）
f（-x）=

3-x

9-x+1

=

3x

9x+1

，
∴x∈（-1，0）∪（0，1）时，f（x）=

3x

9x+1

．
（2）当x∈（-1，0）时，f（x）=

3x

9x+1

令m=3^x，m∈（

1

3

，1），f（m）=

m

m2+1

，
m∈（

1

3

，1），

m2+1

m

=m+

1

m

∈（2，

10

3

），
∴f（m）=

m

m2+1

∈（

3

10

，

1

2

），
由x∈（-1，0）时，f（x）＜t恒成立，
∴t≥

1

2

，
（3）当x∈（0，1）时，S•f（x）-1＜0，

9x+1

3x

＞S，
令3^x=t，则t∈（1，3），
可得W=t+

1

t

＞S，t+

1

t

=S，t²-St+1=0，
所以W=t+

1

t

＞0，t∈（

S+ S2-4

2

，3），
x∈（log₃

S+ S2-4

2

，1）
∵f（x）为偶函数，
∴x∈（log₃

S+ S2-4

2

，1）∪（-1，-log₃

S+ S2-4

2

）

点评：本题考查了函数的性质，不等式的运用，属于综合题，难度较大．