Question

已知函数f（x）=

1

2

cos²x+

3

2

sinxsin（

π

2

+x）+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期以及区间[0，

π

2

]上的最值，并指出相应的x值；
（2）将函数f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜

π

2

）个单位后所得函数图象关于y轴对称，求φ的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得f（x）=

5

4

+

1

2

sin(2x+

π

6

)，从而可求f（x）的最小正周期以及区间[0，

π

2

]上的最值及相应的x值；
（2）通过函数图象的平移求得函数的表达式，使得函数关于y轴对称，求出φ的值即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

2

cos²x+

3

2

sinxsin（

π

2

+x）+1=

1

2

×

1+cos2x

2

+

3

2

×sinx×cosx+1=

5

4

+

1

2

sin(2x+

π

6

)，
∴T=

2π

2

=π，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，从而得1≤

5

4

+

1

2

sin(2x+

π

6

)≤

7

4

，
∴当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时函数有最大值

7

4

，
当2x+

π

6

=

7π

6

时，即x=

π

2

，函数有最小值1．
（2）则f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜

π

2

）个单位后使得图象的解析式为f（x）=

5

4

+

1

2

sin（2x+2φ+

π

6

），
由题意得2φ+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，
∴φ=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z．
∵0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

6

．

点评：本题考查三角函数的化简求值，函数图象的平移，函数的基本性质，考查计算能力，属于基础题．