Question

试用实验、观察、归纳法解答：平面内有n个点，任意三个点不共线，求得到多少条线段？

Answer 1

考点：归纳推理

专题：推理和证明

分析：实验、观察、归纳可知平面内有n个点时，从n个点中任取两个点都可以作为线段的两端．或者说，先从n个点中取一个，有n种方法，再从剩余的（n-1）个点中任取一个，这一步有（n-1）种方法．合起来就有n（n-1）种取法．又因为线段是无向的，所以线段如果是AB的话，在上面的计算中，它被算了两次（一次是先取A再取B，另一次是先B后A），因此要把结果除以2，结果是

n×(n-1)

2

种．

解答： 解：平面内有n个点，任意三个点不共线，因为两点确定一条直线．
平面内有3个点时，一共可以画

3×2

2

=3条直线，
平面上有4个点时，一共可以画

4×3

2

=6条直线，
平面内有5个点时，一共可以画

5×4

2

条直线，
…
平面内有n个点时，从n个点中任取两个点都可以作为线段的两端．或者说，先从n个点中取一个，有n种方法，再从剩余的（n-1）个点中任取一个，这一步有（n-1）种方法．合起来就有n（n-1）种取法．又因为线段是无向的，所以线段如果是AB的话，在上面的计算中，它被算了两次（一次是先取A再取B，另一次是先B后A），因此要把结果除以2，结果是

n×(n-1)

2

种，即有一共可以画

n×(n-1)

2

条直线．

点评：本题考察了观察、归纳法的应用，要注意去掉被重复计算的次数．类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．本题属于基础题．