Question

2．若函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，得到的函数图象的对称中心与f（x）图象的对称中心重合，则ω的最小值是4．

Answer 1

分析 利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得：$\frac{π}{4}$=k×$\frac{\frac{2π}{ω}}{2}$，k∈N₊，即可解得当k=1时，ω取得最小值．

解答 解：∵将函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，得到的函数图象的对称中心与f（x）图象的对称中心重合，设T为函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）的最小正周期，
∴$\frac{π}{4}$=k×$\frac{T}{2}$=k×$\frac{\frac{2π}{ω}}{2}$，k∈N₊，即：ω=4k，k∈N₊，
∴当k=1时，ω取得最小值是4，
故答案为：4．

点评 本题主要考查函数 y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，周期公式的应用，由题意得到$\frac{π}{4}$=k×$\frac{\frac{2π}{ω}}{2}$，k∈N₊，是解题的关键，属于中档题．