题目内容
已知函数f（x）=2x2+3（a2+a）lnx-8ax
（Ⅰ）若x=3是f（x）的一个极值点求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在其导函数f（x）′的单调区间上也是单调的，求a的取值范围．
（Ⅰ）若x=3是f（x）的一个极值点求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在其导函数f（x）′的单调区间上也是单调的，求a的取值范围．
考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性
专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用
分析：（I）f′（x）=4x+
-8a=
，则f′（3）=4（3-a）2-a2+3a=0，验证求a；
（II）f′（x）=4x+
-8a=
，讨论f′（x）的单调性，从而求解．
| 3(a2+a) |
| x |
| 4(x-a)2-a2+3a |
| x |
（II）f′（x）=4x+
| 3(a2+a) |
| x |
| 4x2-8ax+3(a2+a) |
| x |
解答：
解：（Ⅰ）f′（x）=4x+
-8a=
=
，
∵x=3是f（x）的一个极值，
∴f′（3）=4（3-a）2-a2+3a=0，
解得，a=4或a=3；
而当a=3时，f′（x）≥0，故不成立，
当a=4时，满足条件，
故a=4．
（II）f′（x）=4x+
-8a=
设g（x）=4x2-8ax+3（a2+a），△=16（a2-3a），
设g（x）=0的两根为x1，x2，（x1＜x2），
（1）当△≤0，即0≤a≤3时，
∴f（x）单调递增，满足题意；
（2）当△＞0，即a＜0或a＞3时，
①若x1＜0＜x2，则
（a2+a）＜0，即-1＜a＜0，
此时，f（x）在（0，x2）上单调递减，
在（x2，+∞）上单调递增，
而f′（x）在（0，+∞）上单调递增，
故不满足题意，
②若x1＜x2≤0，则
，
解得a≤-1，
此时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，满足题意；
③若0＜x1＜x2，则
，
则a＞0，
此时，f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，不满足题意；
综上所述，a的取值范围为（-∞，-1]∪[0，3]．
| 3(a2+a) |
| x |
| 4x2-8ax+3(a2+a) |
| x |
=
| 4(x-a)2-a2+3a |
| x |
∵x=3是f（x）的一个极值，
∴f′（3）=4（3-a）2-a2+3a=0，
解得，a=4或a=3；
而当a=3时，f′（x）≥0，故不成立，
当a=4时，满足条件，
故a=4．
（II）f′（x）=4x+
| 3(a2+a) |
| x |
| 4x2-8ax+3(a2+a) |
| x |
设g（x）=4x2-8ax+3（a2+a），△=16（a2-3a），
设g（x）=0的两根为x1，x2，（x1＜x2），
（1）当△≤0，即0≤a≤3时，
∴f（x）单调递增，满足题意；
（2）当△＞0，即a＜0或a＞3时，
①若x1＜0＜x2，则
| 3 |
| 4 |
此时，f（x）在（0，x2）上单调递减，
在（x2，+∞）上单调递增，
而f′（x）在（0，+∞）上单调递增，
故不满足题意，
②若x1＜x2≤0，则
|
解得a≤-1，
此时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，满足题意；
③若0＜x1＜x2，则
|
则a＞0，
此时，f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，不满足题意；
综上所述，a的取值范围为（-∞，-1]∪[0，3]．
点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的数学思想，属于难题．
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