Question

已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=2sinA且

cosB

cosC

=-

b

2a+c

（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,正弦定理的应用

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由正弦定理原式可化简为2sinAcosB+sinA=0，因为sinA≠0，故cosB=-

1

2

，即可求出B的值；
（Ⅱ）由正弦定理可求b=

3

，而b²=a²+c²+ac≥3ac．故有ac≤1，从而可求△ABC面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由正弦定理，得

cosB

cosC

=-

sinB

2sinA+sinC

，
即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，即2sinAcosB+sin（B+C）=0
又A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，
故2sinAcosB+sinA=0，因为sinA≠0，故cosB=-

1

2

，
又因为B为三角形的内角，所以B=

2π

3

．
（Ⅱ）因为

a

sinA

=

b

sinB

=

2b

3

=2，
所以b=

3

，而b²=a²+c²+ac≥3ac．
故有ac≤1，
所以S=

1

2

acsinB≤

3

4

．

点评：本题主要考察了余弦定理、正弦定理的综合应用，所以中档题．