题目内容

14．已知直线l1与圆心为C的圆（x-1）2+（y-2）2=4相交于不同的A，B两点，对平面内任意点Q都有$\overrightarrow{QC}=λ\overrightarrow{QA}+（1-λ）\overrightarrow{QB}$，λ∈R，又点P为直线l2：3x+4y+4=0上的动点，则$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值为（　　）
A．21B．9C．5D．0

分析 由$\overrightarrow{QC}=λ\overrightarrow{QA}+（1-λ）\overrightarrow{QB}$，λ∈R，得三点A、B、C共线，由向量的线性运算的$\overrightarrow{BA}=\overline{PA}-\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{2PC}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$⇒${\overrightarrow{BA}}^{2}={\overrightarrow{PA}}^{2}+{\overrightarrow{PB}}^{2}-2\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$…①，$4{\overrightarrow{PC}}^{2}={\overrightarrow{PA}}^{2}+{\overrightarrow{PB}}^{2}+2\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$…②．
②-①得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}={\overrightarrow{PC}}^{2}-\frac{1}{4}{\overrightarrow{BA}}^{2}$=${\overrightarrow{PC}}^{2}-4$，求出PC范围即可．

解答 解：∵对平面内任意点Q都有$\overrightarrow{QC}=λ\overrightarrow{QA}+（1-λ）\overrightarrow{QB}$，λ∈R，∴三点A、B、C共线，即AB为圆C的直径．
∴$\overrightarrow{BA}=\overline{PA}-\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{2PC}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$⇒${\overrightarrow{BA}}^{2}={\overrightarrow{PA}}^{2}+{\overrightarrow{PB}}^{2}-2\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$…①，$4{\overrightarrow{PC}}^{2}={\overrightarrow{PA}}^{2}+{\overrightarrow{PB}}^{2}+2\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$…②．
②-①得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}={\overrightarrow{PC}}^{2}-\frac{1}{4}{\overrightarrow{BA}}^{2}$=${\overrightarrow{PC}}^{2}-4$；
∵点C到直线直线l2的距离为3，∴${\overrightarrow{PC}}^{2}≥9$，∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值为5．
故选：C．

点评 本题考查了向量的线性运算，数形结合、转化思想是关键，属于压轴题．

练习册系列答案
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A．-$\frac{2\sqrt{6}}{5}$B．-2$\sqrt{6}$C．2$\sqrt{6}$D．$\frac{2\sqrt{6}}{5}$
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A．2B．$\sqrt{5}$C．$\sqrt{2}+1$D．$\sqrt{3}+1$
6．设集合A={x|x＜3}，B={x|2x＞4}，则A∩B=（　　）
A．∅B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}
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A．（5，10）B．（-∞，5）C．（10，+∞）D．（-∞，5）∪（10，+∞）
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