Question

8．某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：

日销售量	1	1.5	2
天数	10	25	15
频率	0.2	a	b

若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立．
（Ⅰ）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率；
（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求得销售量为1.5吨的概率p=0.5，然后利用二项分布求得其概率．
（Ⅱ）X的可能取值为4，5，6，7，8，分别求得其概率，写出分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）$a=\frac{25}{50}=0.5$，$b=\frac{15}{50}=0.3$，
依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p=0.5，
设5天中该种商品有Y天的销售量为1.5吨，则Y～B（5，0.5），
∴$P（Y=2）={C}_{5}^{2}×{0.5}^{2}×{（1-0.5）}^{3}=0.3125$．
（Ⅱ）X的可能取值为4，5，6，7，8，
则：P（X=4）=0.2²=0.04，P（X=5）=2×0.2×0.5=0.2，P（X=6）=0.5²+2×0.2×0.3=0.37，
P（X=7）=2×0.3×0.5=0.3，P（X=8）=0.3²=0.09，
∴X的分布列为：
X的数学期望E（X）=4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09=6.2．

点评 本题考查二项分布、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．