Question

20．已知动圆P与直线l：y=-$\frac{1}{2}$相切且与圆D：x²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$外切．
（1）求圆心P的轨迹C的方程；
（2）已知圆Q过定点M（0，2），圆心Q在轨迹上运动，且圆Q与x轴交于A，B两点，设|MA|=d₁，|MB|=d₂，求$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$+$\frac{{d}_{2}}{{d}_{1}}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件可知|PD|与点P到直线y=-$\frac{1}{2}$的距离之间的关系，进而得出点M到直线y=-1的距离等于它到点C（0，1）的距离，由抛物线定义，求得圆心P的轨迹C的方程；
（2）先利用条件设出圆的方程，并求出A、B两点的坐标以及|MA|=d₁，|MB|=d₂的表达式，代入$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$+$\frac{{d}_{2}}{{d}_{1}}$，整理后利用基本不等式求最大值即可．

解答 解：（1）设动圆P的半径为r，
动圆P与圆D：x²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$外切．
∴|PD|=r+$\frac{1}{2}$，
动圆P与直线l：y=-$\frac{1}{2}$相切，
∴点P到直线y=-$\frac{1}{2}$的距离为r，
则点P到直线y=-1为r+$\frac{1}{2}$，
则动点P到直线y=-1的距离等于它到点D（0，1）的距离，
∴点M的轨迹是抛物线，
∴圆心P的轨迹方程为x²=4y；
（2）设圆Q的圆心坐标为Q（a，b），则a²=4b．①
圆Q的半径为|MQ|=$\sqrt{{a}^{2}+（b-2）^{2}}$，
圆Q的方程为（x-a）²+（y-b）²=a²+（b-2）²．
令y=0，则（x-a）²+b²=a²+（b-2）²，
整理得，x²-2ax+4b-4=0．②
由①、②解得，x=a±2．
不妨设A（a-2，0），B（a+2，0），
∴d₁=$\sqrt{（a-2）^{2}+4}$，d₂=$\sqrt{（a+2）^{2}+4}$，
∴$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$+$\frac{{d}_{2}}{{d}_{1}}$=$\frac{2{a}^{2}+16}{\sqrt{{a}^{4}+64}}$=$\sqrt{1+\frac{16{a}^{2}}{{a}^{4}+64}}$，③
当a≠0时，由③得$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$+$\frac{{d}_{2}}{{d}_{1}}$=$\sqrt{1+\frac{16{a}^{2}}{{a}^{4}+64}}$≤2$\sqrt{2}$．
当且仅当a=±2$\sqrt{2}$时，等号成立．
当a=0时，由③得，$\sqrt{1+\frac{16{a}^{2}}{{a}^{4}+64}}$=2．
故当a=±2$\sqrt{2}$时，$\sqrt{1+\frac{16{a}^{2}}{{a}^{4}+64}}$的最大值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查求抛物线的轨迹方程，考查点的轨迹方程的求法，均值不等式的应用，解题时要认真审题，注意直线和圆锥曲线的位置关系的灵活运用，属于中档题．