Question

14．关于函数f（x）=cos2x-2$\sqrt{3}$sinxcosx，下列命题正确的个数是（　　）
①若存在x₁，x₂有x₁-x₂=π时，f（x₁）=f（x₂）成立；
②f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}}$]上是单调递增；
③函数f（x）的图象关于点（$\frac{π}{12}$，0）成中心对称图象；
④将函数f（x）的图象向左平移$\frac{5π}{12}$个单位后将与y=2sin2x的图象重合．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质依次判断命题的对错即可得到答案．

解答 解：由f（x）=cos2x-2$\sqrt{3}$sinxcosx，
?f（x）=cos2x-$\sqrt{3}$sin2x
?f（x）=2sin（2x$+\frac{π}{6}$）
f（x）的周期T=$\frac{2π}{2}=π$，则有f（x₁）=f（π+x₁），
∴当x₁-x₂=π时，f（x₁）=f（x₂）成立．故①对．
由sinx函数的图象和性质，可得：f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{2π}{3}$，$kπ+\frac{π}{6}$]，（k∈Z），
区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}}$]?[kπ-$\frac{2π}{3}$，$kπ+\frac{π}{6}$]，k∈Z，故②不对．
函数f（x）的图象的中心对称为（$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$，0），（k∈Z），经考查（$\frac{π}{12}$，0）不是对称中心．故③不对．
由f（x）=2sin（2x$+\frac{π}{6}$）向左平移$\frac{5π}{12}$个单位后得到：2sin[2（x+$\frac{5π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]⇒化简得：-2sin2x，与y=2sin2x的图象不重合．故④不对．
综上所述：①对，②③④不对．
故选：A

点评 本题考查了三角函数的化简能力和计算能力，以及三角函数的图象和性质的运用能力．综合性比较强，属于中档题．