Question

17．已知函数f（x）=$\frac{1}{ax}$+lnx．
（1）若函数f（x）在[2，+∞）内是增函数，求正实数a的取值范围；
（2）当a=1时，求函数f（x）在[${\frac{1}{2}$，2]内的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出${f}^{'}（x）=\frac{ax-1}{a{x}^{2}}$，a＞0，由题意当x∈[2，+∞）时，不等式${f}^{'}（x）=\frac{ax-1}{a{x}^{2}}$≥0，由此能求出正实数a的取值范围．
（2）当a=1时，${f}^{'}（x）=\frac{x-1}{{x}^{2}}$，由导数性质得f（x）在[$\frac{1}{2}$，1）内单调递减，f（x）在（1，2]内单调递增，由此能求出函数f（x）在[${\frac{1}{2}$，2]内的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{ax}$+lnx，
∴${f}^{'}（x）=\frac{ax-1}{a{x}^{2}}$，a＞0，
∵函数f（x）在[2，+∞）内是增函数，
∴当x∈[2，+∞）时，不等式${f}^{'}（x）=\frac{ax-1}{a{x}^{2}}$≥0，即a$≥\frac{1}{x}$恒成立，
∵当x∈[2，+∞）时，$\frac{1}{x}$的最大值为$\frac{1}{2}$，
∴正实数a的取值范围是[$\frac{1}{2}，+∞$）．
（2）当a=1时，${f}^{'}（x）=\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
∴当x∈[$\frac{1}{2}，1$），f′（x）＜0，∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，1）内单调递减，
当x∈（1，2]时，f′（x）＞0，∴f（x）在（1，2]内单调递增，
又f（$\frac{1}{2}$）-f（2）=$\frac{3}{2}-2ln2$=$\frac{ln{e}^{3}-ln16}{2}$＞0，
∴f（$\frac{1}{2}$）＞f（2），
综上所述，当x=1时，函数f（x）在[$\frac{1}{2}，2$]内的最小值为f（1）=1，
当x=$\frac{1}{2}$时，函数f（x）在[$\frac{1}{2}，2$]内的最大值为f（$\frac{1}{2}$）=2-ln2．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查函数f（x）在[${\frac{1}{2}$，2]内的最大值和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．