Question

7．已知等差数列{a_n}满足a₃=5，a₄+a₈=22，{a_n}的前n项和为S_n，
（1）求a_n及S_n
（2）证明：对一切正整数n，有$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由已知求出等差数列的首项和公差，代入等差数列的通项公式和前n项和得答案；
（2）裂项求和和放缩法证明即可．

解答 解：（1）∵a₄+a₈=22，∴a₆=11，
∴a₆-a₃=3d=11-5=6，∴d=2，∴a₁=1，
∴a_n=2n-1． S_n=$\frac{n（2n-1+1）}{2}$=n²，
（2）∵S_n=n²，
∴当n=1时，$\frac{1}{{S}_{1}}$=1，
当n≥2时，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜1+$\frac{1}{4}$+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$=$\frac{7}{4}$-$\frac{1}{n}$＜$\frac{7}{4}$，
故对一切正整数n，有$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．