Question

14．已知扇形AOB的周长为8．
（1）若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小；
（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小．

Answer 1

分析 （1）设扇形半径为R，扇形弧长为l，周长为C，所以$\left\{\begin{array}{l}2R+l=8\\ \frac{1}{2}lR=3\end{array}\right.$，解方程组代入角的弧度数的定义可得；
（2）由8=l+2R结配方法，可得此时圆心角α．

解答 解：（1）设扇形半径为R，扇形弧长为l，周长为C，
所以$\left\{\begin{array}{l}2R+l=8\\ \frac{1}{2}lR=3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}l=6\\ R=1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}l=2\\ R=3\end{array}\right.$，圆心角$α=\frac{l}{R}=6$，或是$α=\frac{2}{3}$．
（2）根据$S=\frac{1}{2}Rl$，2R+l=8，得到l=8-2R，0＜R＜4．
$S=\frac{1}{2}R（{8-2R}）=-{R^2}+4R=-{（{R-2}）^2}+4$，当R=2时，S_max=4，
此时l=4，那么圆心角α=2，

点评 本题考查扇形的面积公式，涉及基本不等式的应用，属基础题．