Question

7．已知半径为2的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是正数，且与直线4x-3y+2=0相切．
（1）求圆的方程；
（2）若直线ax-y+5=0与圆总有公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用点到直线的距离求出半径，从而求圆的方程；
（2）利用圆心到直线的距离小于半径可求出实数a的取值范围

解答 解：（1）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．
由于圆与直线4x-3y+2=0相切，且半径为2，所以$\frac{|4m+2|}{5}$=2，
即|4m+2|=10．
因为m为整数，故m=2．
故所求的圆的方程是（x-2）²+y²=4．
（2）因为直线ax-y+5=0与圆总有公共点，
则圆心（2，0）到直线ax-y+5=0的距离不超过圆的半径，即$\frac{|2a-0+5|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$≤2，
解得a≤-$\frac{21}{20}$，
所以实数a的取值范围是（-∞，-$\frac{21}{20}$]．

点评 本题主要考查了圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系等知识的综合应用，属于中档题．