Question

5．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB₁，BC₁上分别有两点E，F，且$\frac{{B}_{1}E}{EA}$=$\frac{{C}_{1}F}{FB}$=$\frac{1}{2}$，求证：EF∥平面ABCD．

Answer 1

分析 法一：证明一条直线与一个平面平行，除了可以根据直线与平面平行的判定定理以外，通常还可以通过平面与平面平行进行转化，比如过E作EG∥AB交BB₁于点G，连接GF，根据三角形相似比可知：平面EFG∥平面ABCD．而EF在平面EFG中，故可以证得：EF∥平面ABCD；
法二：根据直线与平面平行的判定定理可知：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么直线和这个平面平行．故只需在平面ABCD中找到与EF平行的直线即可．

解答 解：方法一：如图，在线段BB₁取点G，使得$\frac{{B}_{1}E}{EA}$=$\frac{{C}_{1}F}{FB}$，连结EG、FG．

则由$\frac{{B}_{1}E}{EA}$=$\frac{{C}_{1}F}{FB}$=$\frac{1}{2}$，得EG∥AB，FG∥B₁C₁．
又AB?平面ABCD，EG?平面ABCD，
所以EG∥平面ABCD．
而B₁C₁∥BC，又FG∥B₁C₁，则FG∥BC，
又BC?平面ABCD，GF?平面ABCD，
所以GF∥平面ABCD，又EG∩FG=G，EG，FG?平面EGF，
所以平面EGF∥平面ABCD，又EF?平面EGF，
所以EF∥平面ABCD．
方法二：如图，在AB上取点M，使MB：MA=1：2，在BC上取点N，使得CN：NB=1：2，连结EM、FN、MN，
则$\frac{{B}_{1}E}{EA}$=$\frac{{C}_{1}F}{FB}$=$\frac{1}{2}$，所以EM∥BB₁且EM=$\frac{2}{3}$BB₁．
又由$\frac{{B}_{1}E}{EA}$=$\frac{{C}_{1}F}{FB}$=$\frac{1}{2}$，所以FN∥CC₁且FN=$\frac{2}{3}$CC₁，
又BB₁綊CC₁，所以EM綊FN，
所以四边形EMNF为平行四边形，
则EF∥MN，又MN?平面ABCD，EF?平面ABCD，
则EF∥平面ABCD．

点评 本题主要考查了空间中的线面关系，三角形相似等基础知识，考查空间想象能力和思维能力．