Question

9．已知点P（x，y）是圆（x+2）²+y²=1上任意一点，则$\frac{y-2}{x-1}$的最大值为$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 $\frac{y-2}{x-1}$表示圆上的点P（x，y）与点M（1，2）连线的斜率，设为k，则过点M的圆的切线方程为y-2=k（x-1），由圆心到切线的距离等于半径，求得k的值，可得$\frac{y-2}{x-1}$的最大值．

解答 解：$\frac{y-2}{x-1}$表示圆上的点P（x，y）与点M（1，2）连线的斜率，
设为k，则过点M的圆的切线方程为y-2=k（x-1），
即 kx-y+2-k=0，由圆心到切线的距离等于半径，可得$\frac{|-2k-0+2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，求得k=$\frac{3±\sqrt{3}}{4}$，
故$\frac{y-2}{x-1}$的最大值为$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．
故答案为：$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查直线的斜率公式，直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．