Question

4．f（x）=e^x-ax²-（a+1）x-1，a∈R，（e为自然对数的底数）
（1）a=0时，求f（x）的极值；
（2）若?x₀∈[0，1]，使得f′（x）≥b成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）问题转化为b≤[e^x-2ax-（a+1）]_max，x∈[0，1]，令g（x）=e^x-2ax-（a+1），x∈[0，1]，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数g（x）的最大值，求出b的范围即可．

解答 解：（1）a=0时，f（x）=e^x-x，
f′（x）=e^x-1，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，
令f′（x）＜0，解得：x＜0，
故f（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增，
故f（x）_极小值=f（0）=1，无极大值；
（2）f′（x）=e^x-2ax-（a+1），
若?x₀∈[0，1]，使得f′（x）≥b成立，
即b≤[e^x-2ax-（a+1）]_max，x∈[0，1]，
令g（x）=e^x-2ax-（a+1），x∈[0，1]，
g′（x）=e^x-2a，
a≤$\frac{1}{2}$时，g′（x）＞0，
g（x）在[0，1]递增，g（x）_max=g（1）=e-3a-1，
a≥$\frac{e}{2}$时，g′（x）＜0，
g（x）在[0，1]递减，g（x）_max=g（0）=-a，
$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{e}{2}$时，令g′（x）＞0，解得：x＞ln2a，
令g′（x）＜0，解得：x＜ln2a，
故g（x）在[0，ln2a）递减，在（ln2a，1]递增，
故g（x）_max=g（0）或g（1），
综上：b≤$\left\{\begin{array}{l}{e-3a-1，a≤\frac{e-1}{2}}\\{-a，a＞\frac{e-1}{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．