题目内容

设P1（x1，y1），P1（x2，y2），…，Pn（xn，yn）（n≥3，n∈N）是二次曲线C上的点，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，…，an=|OPn|2构成了一个公差为d（d≠0）的等差数列，其中O是坐标原点．记Sn=a1+a2+…+an．
（1）若C的方程为
x2
100
+
y2
25
=1，n=3．点P1（10，0）及S3=255，求点P3的坐标；（只需写出一个）
（2）若C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）．点P1（a，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求Sn的最小值；
（3）请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1，对于给定的自然数n，写出符合条件的点P1，P2，…Pn存在的充要条件，并说明理由．
分析：（1）依题意可分别求得a1和a3，进而把椭圆方程和圆的方程联立求得交点即P3的坐标．
（2）根据原点O到二次曲线C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上各点的最小距离为b，最大距离为a．根据a1=a2，判断d＜0，进而根据an≥b2，求得
b2-a2
n-1
≤d，进而判断Sn在[
b2-a2
n-1
，0）上递增，进而求得Sn的最小值．
（3）点P1（a，0），则对于给定的n，点P1，P2，Pn存在的充要条件是d＞0．根据双曲线的性质可知原点O到双曲线C上各点的距离h的范围，进而根据|OP1|=a2推断点P1，P2，Pn存在当且仅当|OPn|2＞|OP1|2符合．
解答：解：（1）a1=|OP1|2=100，由S3=
3
2
（a1+a3）=255，得a3=|OP3|3=70．
由
x2
100
+
y2
25
=1
x2+y2=70
，得
x2=60
y2=10
，
∴点P3的坐标可以为（2
15
，
10
）．

（2）原点O到二次曲线C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上各点的最小距离为b，最大距离为a．
∵a1=|OP1|2=a2，
∴d＜0，且an=|OPn|2=a2+（n-1）d≥b2，
∴
b2-a2
n-1
≤d＜0．∵n≥3，
n(n-1)
2
＞0
∴Sn=na2+
n(n-1)
2
d在[
b2-a2
n-1
，0）上递增，
故Sn的最小值为na2+
n(n-1)
2
•
b2-a2
n-1
=
n(a2+b2)
2
．

（3）若双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1，点P1（a，0），
则对于给定的n，点P1，P2，Pn存在的充要条件是d＞0．
∵原点O到双曲线C上各点的距离h∈[|a|，+∞），且|OP1|=a2，
∴点P1，P2，Pn存在当且仅当|OPn|2＞|OP1|2，即d＞0．
点评：本题主要考查了等差数列的性质．涉及了圆锥曲线和函数的知识，考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．
练习册系列答案
相关题目
已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f（P）．设P1（x1，y1），P2=f（P1），P3=f（P2），…，Pn=f（Pn-1），…．如果存在一个圆，使所有的点Pn（xn，yn）（n∈N*）都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点Pn（xn，yn）的一个收敛圆．特别地，当P1=f（P1）时，则称点P1为映射f下的不动点．若点P（x，y）在映射f下的象为点Q(-x+1，
12
y)．
（Ⅰ）求映射f下不动点的坐标；
（Ⅱ）若P1的坐标为（2，2），求证：点Pn（xn，yn）（n∈N*）存在一个半径为2的收敛圆．
设P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是函数f(x)=
2x
2x+
2
图象上的两点，且
OP
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)，点P的横坐标为
1
2
．
（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；
（2）若Sn=
n
i=1
f(
i
n
)，n∈N*，求Sn；
（3）记Tn为数列{
1
(Sn+
2
)(Sn+1+
2
)
}的前n项和，若Tn＜a(Sn+1+
2
)对一切n∈N*都成立，试求a的取值范围．
①an-1+1=
an
n
；
②(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)(1+
1
a3
)…(1+
1
an
)≤3-
1
n
设P1（x1，y1），P1（x2，y2），…，Pn（xn，yn）（n≥3，n∈N） 是二次曲线C上的点，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，…，an=|OPn|2构成了一个公差为d（d≠0） 的等差数列，其中O是坐标原点．记Sn=a1+a2+…+an．
（1）若C的方程为
x2
9
-y2=1，n=3．点P1（3，0） 及S3=162，求点P3的坐标；（只需写出一个）
（2）若C的方程为y2=2px（p≠0）．点P1（0，0），对于给定的自然数n，证明：（x1+p）2，（x2+p）2，…，（xn+p）2成等差数列；
（3）若C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）．点P1（a，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求Sn的最小值．
符号意义 本试卷所用符号 等同于《实验教材》符号
向量坐标
a
={x，y}
a
=（x，y）
正切 tg tan
已知函数f(x)=
a•2x
2x+
2
的图象过点(0，
2
-1)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2）为y=f（x）的图象上两个不同点，又点P（xP，yP）满足：
OP
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)，其中O为坐标原点．试问：当xP=
1
2
时，yP是否为定值？若是，求出yP的值，若不是，请说明理由．

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