Question

已知函数f(x)=

a•2x

2x+ 2

的图象过点(0，

2

-1)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）为y=f（x）的图象上两个不同点，又点P（x_P，y_P）满足：

OP

=

1

2

(

OP1

+

OP2

)，其中O为坐标原点．试问：当xP=

1

2

时，y_P是否为定值？若是，求出y_P的值，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意知

a

1+ 2

=

2

-1，解得a=1，由此能求出f（x）的解析式．
（2）

1

2

=xP=

1

2

(x1+x2)⇒x1+x2=1⇒x2=1-x1，由此能够推导出y_p为定值

1

2

．

解答：解：（1）由题意知

a

1+ 2

=

2

-1，
解得a=1，
∴f(x)=

2x

2x+ 2

；
（2）

1

2

=xP=

1

2

(x1+x2)⇒x1+x2=1⇒x2=1-x1yP=

1

2

(y1+y2)=

1

2

(

2x1

2x1+ 2

+

2x2

2x2+ 2

)=

1

2

(

2x1

2x1+ 2

+

21-x1

21-x1+ 2

)
=

1

2

(

2x1

2x1+ 2

+

2

2+ 2 •2x1

)=

1

2

(

2x1

2x1+ 2

+

2

2 +2x1

)
=

1

2

•1=

1

2

，
∴y_p为定值

1

2

．

点评：本题考查函数解析式的常用解法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．