题目内容

已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射,点P在映射f下的象为点Q,记作Q=f(P).设P1(x1,y1),P2=f(P1),P3=f(P2),…,Pn=f(Pn-1),….如果存在一个圆,使所有的点Pn(xn,yn)(n∈N*)都在这个圆内或圆上,那么称这个圆为点Pn(xn,yn)的一个收敛圆.特别地,当P1=f(P1)时,则称点P1为映射f下的不动点.若点P(x,y)在映射f下的象为点Q(-x+1,
12
y)

(Ⅰ)求映射f下不动点的坐标;
(Ⅱ)若P1的坐标为(2,2),求证:点Pn(xn,yn)(n∈N*)存在一个半径为2的收敛圆.
分析:(Ⅰ)设不动点的坐标为P0(x0,y0),依据对应关系及不动点的定义,解方程组
x0=-x0+1
y0=
1
2
y0
,可得不动点的坐标.
(Ⅱ)由Pn+1=f(Pn),得
xn+1=-xn+1
yn+1=
1
2
yn
,构造两个等比数列{xn-
1
2
}(n∈
N*)和{yn},
写出它们的通项公式,设A(
1
2
 1)
,计算Pn到A的距离,可得此距离小于2,故所有的点Pn(n∈N*)都在以A(
1
2
 1)
为圆心,2为半径的圆内.
解答:(Ⅰ)解:设不动点的坐标为P0(x0,y0),
由题意,得
x0=-x0+1
y0=
1
2
y0
,解得x0=
1
2
 y0=0

所以此映射f下不动点为P0(
1
2
 0)


(Ⅱ)证明:由Pn+1=f(Pn),得
xn+1=-xn+1
yn+1=
1
2
yn

所以xn+1-
1
2
=-(xn-
1
2
) yn+1=
1
2
yn

因为x1=2,y1=2,
所以xn-
1
2
≠0 yn≠0

所以
xn+1-
1
2
xn-
1
2
=-1 
yn+1
yn
=
1
2

由等比数列定义,得数列{xn-
1
2
}(n∈
N*)是公比为-1,首项为x1-
1
2
=
3
2
的等比数列,
所以xn-
1
2
=
3
2
×(-1)n-1
,则xn=
1
2
+(-1)n-1×
3
2

同理yn=2×(
1
2
)n-1

所以Pn(
1
2
+(-1)n-1×
3
2
 2×(
1
2
)n-1)

A(
1
2
 1)
,则|APn|=
(
3
2
)
2
+[1-2×(
1
2
)
n-1
]
2

因为0<2×(
1
2
)n-1≤2

所以-1≤1-2×(
1
2
)n-1<1

所以|APn|≤
(
3
2
)
2
+1
<2

故所有的点Pn(n∈N*)都在以A(
1
2
 1)
为圆心,2为半径的圆内,
即点Pn(xn,yn)存在一个半径为2的收敛圆.
点评:本题考查映射的定义,构造等比数列并求通项公式,两点间的距离公式的应用.
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