题目内容
已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射,点P在映射f下的象为点Q,记作Q=f(P).设P1(x1,y1),P2=f(P1),P3=f(P2),…,Pn=f(Pn-1),….如果存在一个圆,使所有的点Pn(xn,yn)(n∈N*)都在这个圆内或圆上,那么称这个圆为点Pn(xn,yn)的一个收敛圆.特别地,当P1=f(P1)时,则称点P1为映射f下的不动点.若点P(x,y)在映射f下的象为点Q(-x+1,1 | 2 |
(Ⅰ)求映射f下不动点的坐标;
(Ⅱ)若P1的坐标为(2,2),求证:点Pn(xn,yn)(n∈N*)存在一个半径为2的收敛圆.
分析:(Ⅰ)设不动点的坐标为P0(x0,y0),依据对应关系及不动点的定义,解方程组
,可得不动点的坐标.
(Ⅱ)由Pn+1=f(Pn),得
,构造两个等比数列{xn-
}(n∈N*)和{yn},
写出它们的通项公式,设A(
, 1),计算Pn到A的距离,可得此距离小于2,故所有的点Pn(n∈N*)都在以A(
, 1)为圆心,2为半径的圆内.
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(Ⅱ)由Pn+1=f(Pn),得
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1 |
2 |
写出它们的通项公式,设A(
1 |
2 |
1 |
2 |
解答:(Ⅰ)解:设不动点的坐标为P0(x0,y0),
由题意,得
,解得x0=
, y0=0,
所以此映射f下不动点为P0(
, 0).
(Ⅱ)证明:由Pn+1=f(Pn),得
,
所以xn+1-
=-(xn-
), yn+1=
yn,
因为x1=2,y1=2,
所以xn-
≠0, yn≠0,
所以
=-1,
=
,
由等比数列定义,得数列{xn-
}(n∈N*)是公比为-1,首项为x1-
=
的等比数列,
所以xn-
=
×(-1)n-1,则xn=
+(-1)n-1×
.
同理yn=2×(
)n-1.
所以Pn(
+(-1)n-1×
, 2×(
)n-1).
设A(
, 1),则|APn|=
,
因为0<2×(
)n-1≤2,
所以-1≤1-2×(
)n-1<1,
所以|APn|≤
<2.
故所有的点Pn(n∈N*)都在以A(
, 1)为圆心,2为半径的圆内,
即点Pn(xn,yn)存在一个半径为2的收敛圆.
由题意,得
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1 |
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所以此映射f下不动点为P0(
1 |
2 |
(Ⅱ)证明:由Pn+1=f(Pn),得
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所以xn+1-
1 |
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1 |
2 |
1 |
2 |
因为x1=2,y1=2,
所以xn-
1 |
2 |
所以
xn+1-
| ||
xn-
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yn+1 |
yn |
1 |
2 |
由等比数列定义,得数列{xn-
1 |
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1 |
2 |
3 |
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所以xn-
1 |
2 |
3 |
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1 |
2 |
3 |
2 |
同理yn=2×(
1 |
2 |
所以Pn(
1 |
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3 |
2 |
1 |
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设A(
1 |
2 |
(
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因为0<2×(
1 |
2 |
所以-1≤1-2×(
1 |
2 |
所以|APn|≤
(
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故所有的点Pn(n∈N*)都在以A(
1 |
2 |
即点Pn(xn,yn)存在一个半径为2的收敛圆.
点评:本题考查映射的定义,构造等比数列并求通项公式,两点间的距离公式的应用.
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