题目内容

设P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是函数f(x)=
2x
2x+
2
图象上的两点，且
OP
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)，点P的横坐标为
1
2
．
（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；
（2）若Sn=
n
i=1
f(
i
n
)，n∈N*，求Sn；
（3）记Tn为数列{
1
(Sn+
2
)(Sn+1+
2
)
}的前n项和，若Tn＜a(Sn+1+
2
)对一切n∈N*都成立，试求a的取值范围．
①an-1+1=
an
n
；
②(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)(1+
1
a3
)…(1+
1
an
)≤3-
1
n
分析：（1）由
OP
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)得到P是P1P2的中点?x1+x2=1?y1+y2=1得到yp即可；
（2）由（1）知x1+x2=1，f（x1）+f（x2）=y1+y2=1，而Sn=f(
1
n
) +f(
2
n
) +…+f(
n-1
n
) +f(
n
n
)能写成Sn=f(
n
n
) +f(
n-1
n
)+…+f(
2
n
)  +f(
1
n
)，两者相加可得Sn；
（3）先表示Tn的同项公式，求出之和，根据Tn＜a(Sn+1+
2
)利用基本不等式求出a的取值范围即可．
解答：解：（1）∵
OP
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)，
∴P是P1P2的中点?x1+x2=1y1+y2=f(x1)+f(x2)=
2x1
2x1+
2
+
2x2
2x2+
2
=
2x1
2x1+
2
+
21-x1
21-x1+
2
=
2X1
2X1+
2
+
2
2X1+
2
=1
∴yp=
1
2
(y1+y2)=
1
2

（2）由（1）知x1+x2=1，f（x1）+f（x2）=y1+y2=1，f(1)=2-
2
，Sn=f(
1
n
) +f(
2
n
) +…+f(
n-1
n
) +f(
n
n
)，Sn=f(
n
n
) +f(
n-1
n
)+…+f(
2
n
)  +f(
1
n
)
相加得2Sn=f(n)+[f(
1
n
)+f(
n-1
n
)] +[f(
2
n
)+f(
n-2
n
)]+…+[f(
n-1
n
)+f(
1
n
)] +f(1)=2f（1）+1+1+…+1=n+3-2
2
（n-1个1）
∴Sn=
n+3-2
2
2

（3）
1
(Sn+
2
)(Sn+1+
2
)
=
1
n+3
2
•
n+4
2
=
4
(n+3)(n+4)
=4(
1
n+3
-
1
n+4
)
Tn=4[(
1
4
-
1
5
)+(
1
5
-
1
6
)+…+(
1
n+3
-
1
n+4
)] =
n
n+4

Tn＜a(Sn+1+
2
)?a＞
Tn
Sn+1+
2
=
2n
(n+4)2
=
2
n+
16
n
+8

∵n+
16
n
≥8，当且仅当n=4时，取“=”
∴
2
n+
16
n
+8
≤
2
8+8
=
1
8
，因此，a＞
1
8
点评：考查学生运用数列及数列求和的能力，理解掌握指数函数性质的能力，以及会用基本不等式证明的能力．
练习册系列答案
相关题目
已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f（P）．设P1（x1，y1），P2=f（P1），P3=f（P2），…，Pn=f（Pn-1），…．如果存在一个圆，使所有的点Pn（xn，yn）（n∈N*）都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点Pn（xn，yn）的一个收敛圆．特别地，当P1=f（P1）时，则称点P1为映射f下的不动点．若点P（x，y）在映射f下的象为点Q(-x+1，
12
y)．
（Ⅰ）求映射f下不动点的坐标；
（Ⅱ）若P1的坐标为（2，2），求证：点Pn（xn，yn）（n∈N*）存在一个半径为2的收敛圆．
设P1（x1，y1），P1（x2，y2），…，Pn（xn，yn）（n≥3，n∈N）是二次曲线C上的点，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，…，an=|OPn|2构成了一个公差为d（d≠0）的等差数列，其中O是坐标原点．记Sn=a1+a2+…+an．
（1）若C的方程为
x2
100
+
y2
25
=1，n=3．点P1（10，0）及S3=255，求点P3的坐标；（只需写出一个）
（2）若C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）．点P1（a，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求Sn的最小值；
（3）请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1，对于给定的自然数n，写出符合条件的点P1，P2，…Pn存在的充要条件，并说明理由．
设P1（x1，y1），P1（x2，y2），…，Pn（xn，yn）（n≥3，n∈N） 是二次曲线C上的点，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，…，an=|OPn|2构成了一个公差为d（d≠0） 的等差数列，其中O是坐标原点．记Sn=a1+a2+…+an．
（1）若C的方程为
x2
9
-y2=1，n=3．点P1（3，0） 及S3=162，求点P3的坐标；（只需写出一个）
（2）若C的方程为y2=2px（p≠0）．点P1（0，0），对于给定的自然数n，证明：（x1+p）2，（x2+p）2，…，（xn+p）2成等差数列；
（3）若C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）．点P1（a，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求Sn的最小值．
符号意义 本试卷所用符号 等同于《实验教材》符号
向量坐标
a
={x，y}
a
=（x，y）
正切 tg tan
已知函数f(x)=
a•2x
2x+
2
的图象过点(0，
2
-1)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2）为y=f（x）的图象上两个不同点，又点P（xP，yP）满足：
OP
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)，其中O为坐标原点．试问：当xP=
1
2
时，yP是否为定值？若是，求出yP的值，若不是，请说明理由．

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