题目内容

设P1（x1，y1），P1（x2，y2），…，Pn（xn，yn）（n≥3，n∈N） 是二次曲线C上的点，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，…，an=|OPn|2构成了一个公差为d（d≠0） 的等差数列，其中O是坐标原点．记Sn=a1+a2+…+an．
（1）若C的方程为
x2
9
-y2=1，n=3．点P1（3，0） 及S3=162，求点P3的坐标；（只需写出一个）
（2）若C的方程为y2=2px（p≠0）．点P1（0，0），对于给定的自然数n，证明：（x1+p）2，（x2+p）2，…，（xn+p）2成等差数列；
（3）若C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）．点P1（a，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求Sn的最小值．
符号意义 本试卷所用符号 等同于《实验教材》符号
向量坐标
a
={x，y}
a
=（x，y）
正切 tg tan
分析：（1）利用条件求出a3的值．再联立二次曲线求出点P3的坐标即可．
（2）先利用定义求出|OPk|2，再联立二次曲线求出（xk+p）2表达式，就可下结论．
（3）先求出原点O到二次曲线上各点的最小距离和最大距离；再利用定义求出an的通项以及Sn的表达式，利用公差d的范围，求出Sn的最小值即可．
解答：解：（1）a1=|OP1|2=9，由S3=
3
2
（a1+a3）=162，得a3=|OP3|3=99．
由
x2
9
-y2=1
x2+ y2=99
得
x2=90
y2=9

∴点P3的坐标可以为（3
10
，3）．
（2）对每个自然数k，1≤k≤n，由题意|OPk|2=（k-1）d，
及
y
2
k
=2pxk
x
2
k
+
y
2
k
=(k-1)d

即（xk+p）2=p2+（k-1）d，
∴（x1+p）2，（x2+p）2，…（xn+p）2是首项为p2，公差为d的等差数列．
（3）原点O到二次曲线
C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上各点的最小距离为b，最大距离为a．
∵a1=|OP1|2=a2，∴d＜0，且an=|OPn|2=a2+（n-1）d≥b2，
∴
b2-a2
n-1
≤d＜0．∵n≥3，
n(n-1)
2
＞0
∴Sn=na2+
n(n-1)
2
d在[
b2-a2
n-1
，0）上递增，
故Sn的最小值为na2+
n(n-1)
2
•
b2-a2
n-1
=
n(a2+b2)
2
．
点评：本题是对数列和函数以及二次曲线的综合考查．其中涉及到了等差数列的证明，数列的求和等知识点，是一道不太容易的题．
练习册系列答案
相关题目
已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f（P）．设P1（x1，y1），P2=f（P1），P3=f（P2），…，Pn=f（Pn-1），…．如果存在一个圆，使所有的点Pn（xn，yn）（n∈N*）都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点Pn（xn，yn）的一个收敛圆．特别地，当P1=f（P1）时，则称点P1为映射f下的不动点．若点P（x，y）在映射f下的象为点Q(-x+1，
12
y)．
（Ⅰ）求映射f下不动点的坐标；
（Ⅱ）若P1的坐标为（2，2），求证：点Pn（xn，yn）（n∈N*）存在一个半径为2的收敛圆．
设P1（x1，y1），P1（x2，y2），…，Pn（xn，yn）（n≥3，n∈N）是二次曲线C上的点，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，…，an=|OPn|2构成了一个公差为d（d≠0）的等差数列，其中O是坐标原点．记Sn=a1+a2+…+an．
（1）若C的方程为
x2
100
+
y2
25
=1，n=3．点P1（10，0）及S3=255，求点P3的坐标；（只需写出一个）
（2）若C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）．点P1（a，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求Sn的最小值；
（3）请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1，对于给定的自然数n，写出符合条件的点P1，P2，…Pn存在的充要条件，并说明理由．
设P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是函数f(x)=
2x
2x+
2
图象上的两点，且
OP
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)，点P的横坐标为
1
2
．
（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；
（2）若Sn=
n
i=1
f(
i
n
)，n∈N*，求Sn；
（3）记Tn为数列{
1
(Sn+
2
)(Sn+1+
2
)
}的前n项和，若Tn＜a(Sn+1+
2
)对一切n∈N*都成立，试求a的取值范围．
①an-1+1=
an
n
；
②(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)(1+
1
a3
)…(1+
1
an
)≤3-
1
n
已知函数f(x)=
a•2x
2x+
2
的图象过点(0，
2
-1)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2）为y=f（x）的图象上两个不同点，又点P（xP，yP）满足：
OP
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)，其中O为坐标原点．试问：当xP=
1
2
时，yP是否为定值？若是，求出yP的值，若不是，请说明理由．

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