Question

9．数列{a_n}满足a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=$\frac{n}{2}$，前n项和为S_n，则S_n=$\frac{3}{4}（1-\frac{1}{3^n}）$．

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=$\frac{n}{2}$，可得：n=1时，a₁=$\frac{1}{2}$．n≥2时，a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-2a_n-1=$\frac{n-1}{2}$，可得3^n-1a_n=$\frac{1}{2}$，再利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=$\frac{n}{2}$，
∴n=1时，a₁=$\frac{1}{2}$；
n≥2时，a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-2a_n-1=$\frac{n-1}{2}$，
∴3^n-1a_n=$\frac{1}{2}$，
∴a_n=$\frac{1}{2}×\frac{1}{{3}^{n-1}}$，n=1时也成立．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{3}$．
前n项和为S_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{4}（1-\frac{1}{3^n}）$．
故答案为：$\frac{3}{4}（1-\frac{1}{3^n}）$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．