Question

12．若函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x在（2m，1-m）上有最大值，则实数m的取值范围是[-1，-$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 因为给的是开区间，最大值一定是在该极大值点处取得，因此对原函数求导、求极大值点，求出函数极大值时的x值，然后让极大值点落在区间（2m，1-m）内，依此构造不等式．即可求解实数m的值

解答 解：由题 f'（x）=x²-1，
令f'（x）＜0解得-1＜x＜1；令f'（x）＞0解得x＜-1或x＞1
由此得函数在（-∞，-1）上是增函数，在（-1，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
故x=-1是函数f（x）的极大值点，f（-1）=$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$x³-x=$\frac{2}{3}$，解得x=2，
故函数在x=-1处取到极大值2，判断知此极大值必是区间（2m，1-m）上的最大值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m＜1-m}\\{2m＜-1}\\{1-m＞-1}\\{1-m≤2}\end{array}\right.$，
解得-1≤m＜-$\frac{1}{2}$，
故实数m的取值范围是[-1，-$\frac{1}{2}$），
故答案为：[-1，-$\frac{1}{2}$）

点评 本题考查用导数研究函数的最值，利用导数研究函数的最值是导数作为数学中工具的一个重要运用，要注意把握其作题步骤，求导，确定单调性，得出最值．