Question

19．已知函数$f（x）=cos（2x-\frac{π}{3}）+2{sin^2}x$．
（Ⅰ）求函数f（x）的周期、单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈$[0，\frac{π}{2}]$时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的单调性与周期性即可求出结果；
（Ⅱ）由x∈$[0，\frac{π}{2}]$时，-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，判定f（x）的单调性并求出它的最大、最小值．

解答 解：（Ⅰ）函数$f（x）=cos（2x-\frac{π}{3}）+2{sin^2}x$
=cos2xcos$\frac{π}{3}$+sin2xsin$\frac{π}{3}$+2×$\frac{1-cos2x}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+1
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，…3分
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z；
解得：$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}\;，k∈Z$；
∴函数f（x）的单调递增区间是$[kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}\;]，k∈Z$；…4分
最小正周期为$T=\frac{2π}{2}=π$；…5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x∈$[0，\frac{π}{2}]$时，-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$；
$0≤x≤\frac{π}{3}$时，-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$，$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）+1$为增函数，…7分，
$\frac{π}{3}\;≤x≤\frac{π}{2}$时，$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）+1$为减函数，…9分
又$f（0）=sin（-\frac{π}{6}）+1=\frac{1}{2}$，
$f（\frac{π}{3}）=sin（\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}）+1=2$，
$f（\frac{π}{2}）=sin（π-\frac{π}{6}）+1=\frac{3}{2}$，
∴函数f（x）的最大值为2，最小值为$\frac{1}{2}$． …10分．

点评 本题考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．