Question

11．（1）求垂直于直线x+3y-5=0且与点P（-1，0）的距离是$\frac{3\sqrt{10}}{5}$的直线方程；
（2）求圆心在直线y=-4x上，且与直线l：x+y-1=0相切于点P（3，-2）的圆的方程．

Answer 1

分析 （1）根据两直线垂直，设所求的直线方程为3x-y+k=0，再根据点P（-1，0）到它的距离列方程求出k的值，即得所求的直线方程；
（2）设圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），由圆心在直线y=-4x上，并且与直线l：x+y-1=0相切于点P（3，-2），可以构造a，b，r的方程组，解方程组可得a，b，r的值，进而得到圆的方程．

解答 解：（1）由所求的直线与直线x+3y-5=0垂直，可设所求的直线方程为 3x-y+k=0，
再由点P（-1，0）到它的距离为$\frac{|-3+k|}{\sqrt{9+1}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$⇒|k-3|=6
解得k=9或-3；
故所求的直线方程为 3x-y+9=0或3x-y-3=0．
（2）设圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0）
由题意有：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4a}\\{\frac{|a+b-1|}{\sqrt{2}}=r}\\{\frac{b+2}{a-3}•（-1）=-1}\end{array}\right.$
解之得a=1，b=-4，r=2$\sqrt{2}$．
∴所求圆的方程为（x-1）²+（y+4）²=8．

点评 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的标准方程，考查学生掌握两直线平行以及垂直时直线方程的关系，其中根据已知构造关于圆心坐标及半径的方程组，是解答本题的关键．