Question

1．已知$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$是夹角为90°的两个单位向量，若$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\sqrt{3}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=-2$\overrightarrow{{e}_{1}}$，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 120°
• D． 150°

Answer 1

分析 由已知可得$|\overrightarrow{{e}_{1}}|=|\overrightarrow{{e}_{2}}|=1$，$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}=0$．然后求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$及$|\overrightarrow{a}|$，$|\overrightarrow{b}|$的值，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角可求．

解答 解：由题意，$|\overrightarrow{{e}_{1}}|=|\overrightarrow{{e}_{2}}|=1$，$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}=0$．
又$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\sqrt{3}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=-2$\overrightarrow{{e}_{1}}$，则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\sqrt{3}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•（-2$\overrightarrow{{e}_{1}}$）=-2$|\overrightarrow{{e}_{1}}{|}^{2}=-2$．
$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{{e}_{1}}+\sqrt{3}\overrightarrow{{e}_{2}}|=\sqrt{（\overrightarrow{{e}_{1}}+\sqrt{3}\overrightarrow{{e}_{2}}）^{2}}$=$\sqrt{|\overrightarrow{{e}_{1}}{|}^{2}+2\sqrt{3}\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+3|\overrightarrow{{e}_{2}}{|}^{2}}$=2，
$|\overrightarrow{b}|=|-2\overrightarrow{{e}_{1}}|=2$．
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=-\frac{1}{2}$．
∴$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°．
故选：C．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了由数量积求向量的夹角，是中档题．