Question

7．已知函数f（x）=lg（ax²+2x+1），若f（x）的定义域是R，求实数a的取值范围及f（x）的值域．

Answer 1

分析 本题考查的是函数的图象与性质问题．在解答时，由于函数f（x）的定义域是R，所以ax²+2x+1＞0对一切x∈R成立．解此恒成立问题即可获得实数a的取值范围，再结合二次函数最值的知识易得函数f（x）的值域．

解答 解：因为f（x）的定义域为R，所以ax²+2x+1＞0对一切x∈R成立．
由此得 $\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4a＜0}\end{array}\right.$，解得a＞1．
又因为ax²+2x+1=a（x+$\frac{1}{a}$）²+1-$\frac{1}{a}$＞0，
所以f（x）=lg（ax²+2x+1）≥lg（1-$\frac{1}{a}$），
所以实数a的取值范围是（1，+∞），
f（x）的值域是[lg（1-$\frac{1}{a}$），+∞）．

点评 本题考查的是函数的图象与性质问题．在解答的过程当中充分体现了恒成立的思想、问题转化的思想以及数形结合的思想．值得同学们体会和反思．