Question

12．已知关于x的方程2x²-（$\sqrt{3}$+1）x+m=0的两根为sin θ、cos θ，θ∈（0，2π），求：
（1）$\frac{sin^2θ}{sinθ-cosθ}$+$\frac{cos^2θ}{cosθ-sinθ}$的值；
（2）m的值．

Answer 1

分析 （1）利用韦达定理求得sin θ+cos θ和sin θcos θ的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
（2）把sin θ+cos θ=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，两边平方，可求得m的值．

解答 解：（1）由根与系数的关系可知sin θ+cos θ=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$ ①，sin θcos θ=$\frac{m}{2}$②，
则$\frac{sin^2θ}{sinθ-cosθ}$+$\frac{cos^2θ}{cosθ-sinθ}$=$\frac{{sin}^{2}θ{-cos}^{2}θ}{sinθ-cosθ}$=sin θ+cos θ=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
（2）由①式平方得1+2sin θcos θ=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，
∴1+m=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，∴m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查韦达定理，同角三角函数的基本关系，属于基础题．