Question

7．函数y=$\frac{3sinx+1}{3sinx-1}$的值域是（-∞，$-\frac{1}{4}$]∪[$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 利用分式的性质，结合三角函数的有界性进行求解即可．

解答 解：y=$\frac{3sinx+1}{3sinx-1}$=$\frac{3sinx-1+2}{3sinx-1}$=1+$\frac{2}{3sinx-1}$，
由3sinx-1≠0得sinx≠$\frac{1}{3}$，
∵-1≤sinx≤1且sinx≠$\frac{1}{3}$，
∴-3≤3sinx≤3且3sinx≠1，
∴-4≤3sinx-1≤2且3sinx-1≠0，
即-4≤3sinx-1＜0或0＜3sinx-1≤2，
则$\frac{1}{3sinx-1}$≤$-\frac{1}{4}$或$\frac{1}{3sinx-1}$≥$\frac{1}{2}$，
即y≤$-\frac{1}{4}$或y≥$\frac{1}{2}$，
即函数的值域为（-∞，$-\frac{1}{4}$]∪[$\frac{1}{2}$，+∞），
故答案为：（-∞，$-\frac{1}{4}$]∪[$\frac{1}{2}$，+∞）

点评 本题主要考查函数值域的求解，利用分式函数的性质利用分子常数化以及利用三角函数的有界性是解决本题的关键．