Question

13．已知点A（0，1），直线l：y=kx-m与圆O：x²+y²=1交于B，C两点，△ABC和△OBC的面积分别为S₁，S₂，若∠BAC=60°，且S₁=2S₂，则实数k的值为±$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求出圆心、点A到直线的距离分别为d，d′，利用∠BAC=60°，且S₁=2S₂，建立方程，即得所求．

解答 解：设圆心O、点A到直线的距离分别为d，d′，则d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，d′=$\frac{|m+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
根据∠BAC=60°，可得BC对的圆心角∠BOC=120°，且BC=$\sqrt{3}$．
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}$•OB•OC•sin∠BOC=$\frac{1}{2}$×1×1×sin120°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴S₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$②．
∴$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×$$\frac{|m+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×$$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$
∴k=±$\sqrt{3}$，m=1
故答案为：±$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．