Question

3．若关于x的不等式|2^x-m|-$\frac{1}{{2}^{x}}$＜0在区间[0，1]内恒成立，则实数m的范围$\frac{3}{2}＜m＜2$．

Answer 1

分析 去绝对值，把不等式|2^x-m|-$\frac{1}{{2}^{x}}$＜0在区间[0，1]内恒成立转化为${2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}＜m＜{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}$在区间[0，1]内恒成立，利用函数的单调性分别求出不等式两边得最大值和最小值得答案．

解答 解：由|2^x-m|-$\frac{1}{{2}^{x}}$＜0，得|2^x-m|＜$\frac{1}{{2}^{x}}$，
∴$-\frac{1}{{2}^{x}}＜{2}^{x}-m＜\frac{1}{{2}^{x}}$，
即${2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}＜m＜{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}$在区间[0，1]内恒成立，
∵函数f（x）=${2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}$在区间[0，1]内单调递增，∴f（x）的最大值为$\frac{3}{2}$；
令g（x）=${2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}$，t=2^x（1≤t≤2），
则y=t+$\frac{1}{t}$在[1，2]上为增函数，由内函数t=2^x为增函数，
∴g（x）=${2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}$在区间[0，1]内单调递增，g（x）的最小值为2．
∴$\frac{3}{2}＜m＜2$．
故答案为：$\frac{3}{2}＜m＜2$．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查数学转化思想方法，训练了利用函数的单调性求函数的最值，是中档题．