Question

如图，已知PA⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1．记∠BPC=θ，则当PD=

 

时，使tanθ达到最大值

 

．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质

专题：解三角形,空间位置关系与距离

分析：设PD=x，可求得：AC=

2

，AB=

5

，PA=

x2-1

，PC=

x2+1

，BP=

x2+4

，在△PBC中，由余弦定理知：cosθ=

PB2+PC2-BC2

2PB•PC

=

2x2+4

2 x2+1 x2+4

，从而可求得tanθ=

x

x2+2

=

1

x+ 2 x

≤

1

2 2

=

2

4

（当且仅当x=

2

时取等号）．

解答： 解：∵PA⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，设PD=x，
∴可求得：AC=

2

，AB=

5

，PA=

x2-1

，PC=

x2+1

，BP=

x2+4

，
∴在△PBC中，由余弦定理知：cosθ=

PB2+PC2-BC2

2PB•PC

=

2x2+4

2 x2+1 x2+4

∴tan²θ=

1

cos2θ

-1=

(x2+1)(x2+4)

(x2+2)2

-1=

x2

(x2+2)2

∴tanθ=

x

x2+2

=

1

x+ 2 x

≤

1

2 2

=

2

4

（当且仅当x=

2

时取等号）
故答案为：

2

，

2

4

．

点评：本题主要考察了直线与平面垂直的性质，余弦定理的应用，基本不等式的应用，属于基本知识的考查，属于中档题．