Question

20．已知球的直径SC=2，A，B是该球球面上的两点，AB=1，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S-ABC的体积为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{6}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{6}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 取SC的中点D，则D为球心，过A做AE⊥SC与E，连接BE，则BE⊥SC，∠BED=60°，棱锥S-ABC的体积：V_S-ABC=V_S-ABE+V_C-ABE=$\frac{1}{3}×SC×{S}_{△ABE}$，由此能求出结果．

解答 解：取SC的中点D，则D为球心，
则AD=BD=DS=1，∠ASC=∠BSC=∠SBD=30°，△ASC≌△BSC，
过A做AE⊥SC与E，连接BE，则BE⊥SC，∠BED=60°，
在△BDE中，DE=BDcos∠BED=$\frac{1}{2}$，
BE=BDsin∠BED=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴${S}_{△ABE}=\frac{1}{2}×AB×\sqrt{B{E}^{2}-（\frac{AB}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{\frac{3}{4}-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故三棱锥S-ABC的体积等于棱锥S-ABE和棱锥C-ABE的体积之和，
即棱锥S-ABC的体积：
V_S-ABC=V_S-ABE+V_C-ABE
=$\frac{1}{3}×SE×{S}_{△ABE}+\frac{1}{3}×CE×{S}_{△ABE}$
=$\frac{1}{3}×SC×{S}_{△ABE}$=$\frac{1}{3}×2×\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
故选：A．

点评 本题考查柱、锥、台体的体积，解答此题的关键是注意球、锥体的性质的应用，考查空间想象能力与计算能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题．