Question

14．若2sin²α+sin²β-2sinα=0，则cos²α+cos²β的取值范围为[1，2]．

Answer 1

分析 根据已知等式，得到sin²β=-2sin²α+2sinα≥0，可以解出sinα的取值范围是[0，1]，并且cos²β=1-sin²β=2sin²α-2sinα+1，结合cos²α=1-sin²α，代入cos²α+cos²β得关于sinα的二次函数：y═（sinα-1）²+1，其中sinα∈[0，1]，由此能求出cos²α+cos²β的取值范围．

解答 解：∵2sin²α+sin²β-2sinα=0，
∴sin²β=-2sin²α+2sinα≥0，
可得0≤sinα≤1，cos²β=1-sin²β=2sin²α-2sinα+1
∴cos²α+cos²β=（1-sin²α）+（2sin²α-2sinα+1）
=2-2sinα+sin²α=（sinα-1）²+1．
∵0≤sinα≤1，
∴当sinα=0时，cos²α+cos²β有最大值为2，
当sinα=1时，cos²α+cos²β有最小值1．
∴1≤cos²α+cos²β≤2．
∴cos²α+cos²β的取值范围为[1，2]．
故答案为：[1，2]．

点评 本题考查两角余弦值平方和的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式的合理运用．