Question

13．设函数f（x）=3cos（$\frac{3π}{2}$+2ωx）+sin（2ωx-π）+1，ω＞0
（1）若ω=1，f（x+θ）是偶函数，求θ的最小值．
（2）若ω=1，存在x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]，使（f（x）-1）²-（f（x）-1）m+3≤0成立，求m取值范围．
（3）若y=f（x）-1在x∈（0，2015）上至少存在2016个最值点，求ω范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的奇偶性，求得θ的最小值．
（2）由题意可得f（x）-1=2sin2x∈[1，2]，m≥f（x）-1+$\frac{3}{f（x）-1}$ 能成立，利用基本不等式求得f（x）-1+$\frac{3}{f（x）-1}$ 的最小值，可得m的范围．
（3）由题意，在（0，2015）上至少包含1007+$\frac{3}{4}$个周期，可得（1007+$\frac{3}{4}$）•$\frac{2π}{2ω}$＜2015，由此求得ω范围．

解答 解：（1）函数f（x）=3cos（$\frac{3π}{2}$+2ωx）+sin（2ωx-π）+1=3sin2ωx-sin2ωx+1=2sin2ωx+1，ω＞0，
若ω=1，f（x+θ）=2sin2（x+θ）+1是偶函数，则2θ=kπ+$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$，k∈Z，故θ的最小值为$\frac{π}{4}$．
（2）若ω=1，f（x）-1=2sin2x+1-1=2sin2x，当x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]时，2x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
f（x）-1=2sin2x∈[1，2]．
∵存在x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]，使（f（x）-1）²-（f（x）-1）m+3≤0成立，
∴m≥f（x）-1+$\frac{3}{f（x）-1}$≥2$\sqrt{3}$，当且仅当f（x）-1=$\sqrt{3}$时，取等号，
故要求的m取值范围为[2$\sqrt{3}$，+∞）．
（3）若y=f（x）-1=2sin2ωx 在x∈（0，2015）上至少存在2016个最值点，
则在（0，2015）上至少包含1007+$\frac{3}{4}$个周期，∴（1007+$\frac{3}{4}$）•$\frac{2π}{2ω}$＜2015，
求得ω＞$\frac{4031}{8060}$π．

点评 本题主要三角恒等变换，正弦函数的奇偶性、定义域和值域，正弦函数的周期性，属于中档题．