Question

椭圆

x2

4

+

y2

2

=1上有不关于x轴对称的两点P，Q，椭圆焦点为F₁，F₂，O为原点，N为PQ中点，若k_OP•k_OQ=-

1

2

，则kNF1•kNF2的值为（　　）

• A、-

  1

  2

• B、

  1

  2

• C、-2
• D、不确定

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x，y），则x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

．利用k_OP•k_OQ=-

1

2

，可得

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

2

，进而表示出kNF1•kNF2，化简可得结论．

解答： 解：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x，y），则x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

．
∵椭圆

x2

4

+

y2

2

=1，
∴F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0），
∵k_OP•k_OQ=-

1

2

，
∴

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

2

，
∴y₁y₂=-

1

2

x₁x₂，
∵

x12

4

+

y12

2

=1，

x22

4

+

y22

2

=1
∴y12+y22=4-

x12+x22

2

，
∴kNF1•kNF2=

y

x+ 2

•

y

x- 2

=

y2

x2-2

=

(y12+y2)2

(x1+x2)2-8

=

4- x12+x22 2 -x1x2

(x1+x2)2-8

=-

1

2

．
故选：A．

点评：本题考查椭圆的几何性质，考查斜率的计算，考查学生的计算能力，正确计算斜率是关键．