Question

(理)已知数列{a_n}中,a₁=1,na_n+1=2(a₁+a₂+…+a_n)(n∈N^*).

(1)求a₂,a₃,a₄;

(2)求数列{a_n}的通项a_n;

(3)设数列{b_n}满足b₁=,b_n+1=b_n²+b_n,求证:b_n＜1(n≤k).

(文)已知O为坐标原点,点E、F的坐标分别为(-1,0)和(1,0),动点P满足=4.

(1)求动点P的轨迹C的方程;

(2)过E点作直线与C相交于M、N两点,且,求直线MN的方程.

Answer 1

(理)解：(1)a₂=2,a₃=3,a₄=4.

(2)na_n+1=2(a₁+a₂+…+a_n),①(n-1)a_n=2(a₁+a₂+…+a_n-1),②①-②得na_n+1-(n-1)a_n=2a_n,

即na_n+1=(n+1)a_n,,

所以a_n=a₁·=n(n≥2).

所以a_n=n(n∈N^*).

(3)由(2)得b₁=,b_n+1=b_n²+b_n＞b_n＞b_n-1＞…＞b₁＞0,

所以{b_n}是单调递增数列,故要证b_n＜1(n≤k)只需证b_k＜1.

若k=1,则b₁=＜1显然成立,

若k≥2,则b_n+1=b_n²+b_n＜b_nb_n+1+b_n,所以-＞-.

因此,.

所以b_k＜＜1.所以b_n＜1(n≤k).

(文)解：(1)∵=4,

由椭圆的第一定义可知点P的轨迹为椭圆,且2a=4,c=1,∴a²=4,b²=3.

∴所求的椭圆方程为=1.

(2)①当直线MN的斜率不存在时,不满足题意;

②当直线MN的斜率存在时,设其方程为y=k(x+1),

代入=1化简得(3+4k²)x²+8k²x+4k²-12=0.

设两交点的坐标为M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),

则x₁+x₂=,x₁x₂=.∵,∴x₁+2x₂=-3.

∴x₂=-3+,x₁=-3-2x₂=.∴.

∴k²=,即k=±,满足Δ＞0.∴所求的直线MN的方程为y=±(x+1).