Question

(理)已知数列{a_n}的前n项之和S_n与a_n满足关系式：nS_n+1=(n+2)S_n+a_n+2(n∈N₊).

(1)若a₁=0,求a₂、a₃的值；

(2)求证：a₁=0是数列{a_n}为等差数列的充要条件.

(文)如图，直线l:y=(x-2)和双曲线C：=1(a＞0,b＞0)交于A、B两点，且|AB|=，又l关于直线l₁:y=x对称的直线l₂与x轴平行.

(1)求双曲线C的离心率；

(2)求双曲线C的方程.

Answer 1

答案：(理)解：(1)由nS_n+1=(n+2)S_n+a_n+2(*)

变形为n(S_n+1-S_n)=2S_n+a_n+2,而S_n是{a_n}的前n项和，于是有na_n+1=2S_n+a_n+2,a₁=0.

在n=1,a₂=2a₁+a₁+2=2,则a₂=2.在n=2，2a₃=2(a₁+a₂)+a₂+2=4+4=8,则a₃=4.4分

(2)充分性：由(1)可猜测到a_n=2n-2.

下面先用数学归纳法证明a_n=2n-2.

①在n=1时，a₁=2×1-2=0，与已知a₁=0一致.故n=1时，a_n=2n-2成立.

②假设n≤k时,a_n=2n-2成立.∴S_k=a₁+a₂+…+a_k=0+2+4+…+(2k-2)=k(k-1).

∵(*)式na_n+1=2S_n+a_n+2恒成立,则ka_k+1=2S_k+a_k+2=2k(k-1)+(2k-2)+2=2k².

∴a_k+1=2k=2［(k+1)-1］.故n=k+1时，a_n=2n-2成立.

综合①②,可知a_n=2n-2对n∈N^*恒成立.

∴数列{a_n}的通项为a_n=2n-2.∴a_n-a_n-1=2(n≥2，n∈N).由等差数列定义可知{a_n}是等差数列.从而充分性得证.

必要性：由(1)可知na_n+1=2S_n+a_n+2恒成立,则(n-1)a_n=2S_n-1+a_n-1+2(n≥2).由以上两式相减,得na_n+1=(n+2)a_n-a_n-1(n≥2).(**)若{a_n}是等差数列，则a_n-a_n-1=d(n≥2)，且a_n=a₁+(n-1)d.代入(**)式中有n(a_n+1-a_n)=2a_n-a_n-1.∴nd=a_n+d=a₁+(n-1)d+d.∴a₁=0.从而必要性得证.因此,a₁=0是数列{a_n}为等差数列的充要条件.

(文)解：(1)如图，设双曲线C：=1过一、三象限的渐近线l₁:=0的倾斜角为α.∵l和l₂关于l₁对称，设它们交点为P,而l₂与x轴平行，记l₂与y轴交点为点Q.

依题意有∠QPO=∠POM=∠OPM=α.又l:y=(x-2)的倾斜角为60°，则2α=60°.

∴tan30°=.于是e²==1+=1+=.∴e=.

(2)由=.于是设双曲线方程为=1，即x²-3y²=3k².将y=(x-2)代入x²-3y²=3k²中得x²-3·3(x-2)²=3k².化简得到8x²-36x+36+3k²=0.设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，则|AB|=|x₁-x₂|

==，求得k²=1.

于是所求双曲线方程为-y²=1.