题目内容
(理)已知数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意n∈N*,满足关系Sn=2an-2.(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn,且bn=
,求证:对任意正整数n,总有Tn＜2;
(3)在正数数列{cn}中,设(cn)n+1=
an+1(n∈N*),求数列{lncn}中的最大项.
(文)已知数列{xn}满足xn+1-xn=(
)n,n∈N*,且x1=1.设an=
xn
,且T2n=a1+2a2+3a3+…+ (2n-1)a2n-1+2na2n.
(1)求xn的表达式;
(2)求T2n;
(3)若Qn=1
(n∈N*),试比较9T2n与Qn的大小,并说明理由.
(理)(1)解：∵Sn=2an-2(n∈N*), ①
∴Sn-1=2an-1-2(n≥2,n∈N*). ②
①-②,得an=2an-2an-1(n≥2,n∈N*).
∵an≠0,∴=2(n≥2,n∈N*),
即数列{an}是等比数列.
∵a1=S1,
∴a1=2a1-2,即a1=2.
∴an=2n(n∈N*).
(2)证明:∵对任意正整数n,总有bn=,
∴Tn=
=1+1＜2.
(3)解:由(cn)n+1=an+1(n∈N*),知lncn=.
令f(x)=
,则f′(x)=
.
∵在区间(0,e)上,f′(x)＞0,在区间(e,+∞)上,f′(x)＜0,
∴在区间(e,+∞)上f(x)为单调递减函数.
∴n≥2且n∈N*时,{lncn}是递减数列.
又lnc1＜lnc2,∴数列{lncn}中的最大项为lnc2=
ln3.
(文)解：(1)∵xn+1-xn=(
)n,
∴xn=x1+(x2-x1)+(x3-x2)+…+(xn-xn-1)
=1+(
)+(
)2+…+(
)n-1
=
=
.
当n=1时上式也成立,
∴xn=
(n∈N*).
(2)an=
.
∵T2n=a1+2a2+3a3+…+(2n-1)a2n-1+2na2n
=(
)2+2(
)3+3(
)4+…+(2n-1)(
)2n+2n(
)2n+1, ①
∴
T2n=(
)3+2(
)4+3(
)5+…+(2n-1)(
)2n+1+2n(
)2n+2. ②
①-②,得
T2n=(
)2+(
)3+…+(
)2n+1-2n(
)2n+2.
∴
T2n=
-2n(
)2n+2
=
.
∴T2n=
.
(3)由(2)可得9T2n=
.
又Qn=
,
当n=1时,22n=4,(2n+1)2=9,∴9T2n＜Qn;
当n=2时,22n=16,(2n+1)2=25,∴9T2n＜Qn;
当n≥3时,22n=［(1+1)n］2=(
)2＞(2n+1)2,
∴9T2n＞Qn.
综上所述,当n=1,2时,9T2n＜Qn;当n≥3时,9T2n＞Qn.
,an+2SnSn-1=0(n≥2),
}是否为等差数列?并证明你的结论;
.
(x-2)和双曲线C：
=1(a＞0,b＞0)交于A、B两点，且|AB|=
，又l关于直线l1:y=
x对称的直线l2与x轴平行.
(an-an-1)x2-(an+1-an)x(n≥2)取得极值.
时,数列{bn}中是否存在最大项.若存在,是第几项?若不存在,请说明理由.
=2(a＞0且a≠1),设y3=18,y6=12.