Question

函数y=

sinxcosx

1+sinx-cosx

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：由分母不为零求出sinx-cosx≠-1，再设t=sinx-cosx，利用两角和的正弦公式化简，求出t的范围，由平方关系表示出sinxcosx，代入解析式化简，再由t的范围和一次函数的单调性，求出原函数的最大值．

解答： 解：由题意得，1+sinx-cosx≠0，则sinx-cosx≠-1，
设t=sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

），则t∈[-

2

，

2

]且t≠-1，
将t=sinx-cosx两边平方得，sinxcosx=

1-t2

2

，
代入y=

sinxcosx

1+sinx-cosx

得，y=

1-t2 2

1+t

=

1-t

2

，
当t=-

2

时，函数取得最大值为：

1+ 2

2

．
故答案为：

1+ 2

2

．

点评：本题主要考查了“sinx-cosx”和“sinxcosx”的关系，利用平方关系建立关系式，以及换元法求函数的最值问题，注意换元后需要求出未知数的范围．