Question

8．在锐角三角形ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（b²-a²-c²）sinAcosA=accos（A+C）．
（1）求角A；
（2）若a=$\sqrt{2}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理，三角形内角和定理，诱导公式化简已知可得-2accosBsinAcosA=-accosB，结合cosB≠0，可得sin2A=1，结合范围2A∈（0，π），可求A的值．
（2）利用余弦定理，基本不等式可求bc≤$\frac{2}{2-\sqrt{2}}$=2+$\sqrt{2}$，当且仅当b=c时等号成立，进而利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵（b²-a²-c²）sinAcosA=accos（A+C），
∴由余弦定理可得：a²+c²-b²=2accosB，
代入已知可得：-2accosBsinAcosA=accos（π-B）=-accosB，
又∵cosB≠0，
∴可得：sin2A=1，
∵A∈（0，$\frac{π}{2}$），可得2A∈（0，π），
∴2A=$\frac{π}{2}$，可得A=$\frac{π}{4}$…6分
（2）∵a²=c²+b²-2accosA=2，即：b²+c²-$\sqrt{2}$bc=2，
∴$\sqrt{2}$bc=b²+c²-2，
∴bc≤$\frac{2}{2-\sqrt{2}}$=2+$\sqrt{2}$，当且仅当b=c时等号成立，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$×（2+$\sqrt{2}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，当且仅当b=c时等号成立．
∴△ABC面积的最大值为$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$…12分

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．