Question

18．设p：关于x的函数f（x）=x²+2ax+3在（-1，+∞）上为增函数；q：函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）是R上的减函数；若“p或q”为真命题，“p且q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 因为“p或q”为真命题，“p且q为假命题，所以p，q一真一假，分类讨论，可得实数a的取值范围．

解答 解：当命题p为真命题时，由-a≤-1得a≥1，
当命题q为真命题时，得0＜a＜1，
因为“p或q”为真命题，“p且q为假命题，所以p，q一真一假
当p真q假时，有$\left\{\begin{array}{l}a≥1\\ a≤0，或a≥1\end{array}\right.$，
解得a≥1----------（6分）
当p假 q真时，有$\left\{\begin{array}{l}a＜1\\ 0＜a＜1\end{array}\right.$，
解得0＜a＜1
综上所述，实数a的取值范围是a＞0-----------（12分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，二次函数的图象和性质，指数函数的图象和性质，难度中档．