题目内容

已知任何一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有对称中心M（x0，f（x0）），记函数f（x） 的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），则有f″（x0）=0．若函数f（x）=x3-3x2，则f（
1
2014
）+f（
2
2014
）+f（
3
2014
）+…+f（
4017
2014
）=（　　）
A、4027B、-4027
C、8034D、-8034
考点：导数的运算
专题：导数的综合应用
分析：令f″（x）=0，解得函数f（x）=x3-3x2的对称中心为（1，-2）．可得f（2-x）+f（x）=-4．即可得出答案．
解答： 解：函数f（x）=x3-3x2，
∴f′（x）=3x2-6x，f″（x）=6x-6=0，解得x=1．
f（1）=-2．
∴函数f（x）=x3-3x2的对称中心为（1，-2）．
∴f（2-x）+f（x）=-4．
∴f（
1
2014
）+f（
2
2014
）+f（
3
2014
）+…+f（
4017
2014
）=
1
2
[f（
1
2014
））+f（
4017
2014
）+f（
2
2014
）+f（
3
2014
）+…+f（
4017
2014
）+f(
1
2014
)]=
1
2
×(-4×4017)=-8034．
故选：D．
点评：本题考查了三次函数的中心对称性、导数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
已知△ABC的三个顶点A（3，-1）、B（5，-5）、C（6，1），则AB边上的中线所在的直线方程为
 
．
下列集合中表示同一集合的是（　　）
A、M={（3，2）}，N={（2，3）}
B、M={（x，y）|x+y=1}，N={y|x+y=1}
C、M={4，5}，N={5，4}
D、M={1，2}，N={（1，2）}
已知A，B，C点在球O的球面上，∠BAC=90°，AB=AC=2．球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为（　　）
A、12πB、16π
C、36πD、20π
如图为函数f（x）=
x
（0＜x＜1）的图象，其在点M（t，f（t））处的切线为l，l与y轴和直线y=1分别交于点P、Q，点N（0，1），设△PQN的面积为S=g（t）．
（Ⅰ）求g（t）的表达式；
（Ⅱ）若g（t）在区间（m，n）上单调递增，求n的最大值；
（Ⅲ）若△PQN的面积为b时的点M恰好有两个，求b的取值范围．
已知扇形的面积为
π
6
，半径为1，则该扇形的圆心角的弧度数是（　　）
A、
π
12
B、
π
6
C、
π
3
D、
2π
3
设全集U=R，f（x）=x2+3x+2，g（x）=x2+（m+1）x+m，m∈R．
（1）设集合A={x|f（x）=0}，B={x|g（x）=0}．若（∁UA）∩B=Φ，求m的值．
（2）设集合P={y|y=f（x）}，Q={m|g（x）在区间[-1，+∞）上是增函数}，求P∩Q．
等差数列{an}中，a100=120，a90=100，则公差d等于（　　）
A、2B、20C、100D、不确定
设集合A={直线}，B={双曲线}，则集合A∩B的元素的个数为（　　）
A、0B、0或1或2
C、0或1D、1或2

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