Question

已知函数f（x）=

x-a

ax

（a＞0）
（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若方程f（x）=x有且只有一个根，求实数a的值，并求出该根；
（3）若方程关于x的方程f（e^x）=e^x+1有两个不同的根，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先判断出f（x）既不是奇函数也不是偶函数，再通过据特殊函数值说明f（-x）≠±f（x）；
（2）由题意化简方程得：ax²-x+a=0，则根据a＞0和方程只有一个实数根得△=1-4a²=0，解出a、x的值；
（3）将方程f（e^x）=e^x+1化简后，令t=e^x、且t＞0，将问题转化为：方程at²+（a-1）t+a=0有两个不同的正根，列出相应的方程求出a的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）既不是奇函数也不是偶函数，
∵f(1)=

1-a

a

 ， f(-1)=

1+a

a

，∴f(1)+f(-1)=

2

a

≠0，f(1)-f(-1)=-2≠0，
∴f（x）既不是奇函数也不是偶函数．（3分）
（2）由f（x）=x，化简整理：ax²-x+a=0，
则由题意得，方程ax²-x+a=0有且只有一个根，
∵a＞0，∴△=1-4a²=0，解得a=

1

2

 ， x=1．（6分）
（3）由f（e^x）=e^x+1得，

ex-a

aex

=e^x+1，即ae^2x+（a-1）e^x+a=0，
令t=e^x，且t＞0，整理为关于t方程at²+（a-1）t+a=0，
由题意得，方程at²+（a-1）t+a=0有两个不同的正根，
满足

△＞0 t1+t2＞0 t1t2＞0 a＞0

，即

(a-1)2-4a2＞0 - a-1 a ＞0 a＞0

，
解得0＜a＜

1

3

．（10分）

点评：本题考查函数奇偶性的判断，方程的解的问题通过换元法转化为一元二次方程根的问题，再由判别式、韦达定理以及二次函数的图象，列出等价不等式组，熟练掌握二次方程的根分布是解题的关键．