Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别a、b、c，已知a+b=5，c=

7

，且sin²2C+sin2C•sinC+cos2C=1．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）通过二倍角公式化简已知表达式，求出cosC的值，然后在三角形中求角C的大小；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）通过余弦定理，求出ab的值，然后直接求△ABC的面积．求角C的大小．

解答： 解：（Ⅰ）∵sin²2C+sin2C•sinC+cos2C=1，
∴4sin²Ccos²C+2sin²CcosC+1-2sin²C=1，
整理得：2cos²C+cosC-1=0，即cosC=

1

2

，
则C=60°；
（Ⅱ）由余弦定理可知：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

(a+b)2-2ab-c2

2ab

=

1

2

，
∴

25-2ab-7

2ab

=

1

2

，即ab=6，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

3 3

2

．

点评：此题考查了余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．