Question

已知定点A(0,－1)，点B在圆上运动，为圆心,线段AB的垂直平分线交BF于P．(1)求动点P的轨迹的方程；若曲线被轨迹包围着，求实数的最小值.(2)已知、，动点在圆内，且满足，求的取值范围．

Answer 1

(1)的最小值为 (2) 的取值范围为

本试题主要是考查了椭圆方程的求解借助于椭圆的定义得到结论。然后结合向量的关系式得到坐标关系，然后利用，得到范围。
（1）由题意得，∴
∴P点轨迹是以A、F为焦点的椭圆，进而得到结论。而曲线化为，
则曲线是圆心在，半径为1的圆。
，那么利用图像法得到最值。
（2）设，由得：，
化简得，即 ，
而 
∵点在圆内，∴，得到不等式，然后求解得到。
解：(1)由题意得，∴
∴P点轨迹是以A、F为焦点的椭圆. ………………………3分
设椭圆方程为，
则，
∴点的轨迹方程为 ………………5分
曲线化为，
则曲线是圆心在，半径为1的圆。
而轨迹E：为焦点在y轴上的椭圆短轴上的顶点为结合它们的图像知：若曲线被轨迹E包围着，则，
∴的最小值为 。………………………8分
(2)设，由得：，
化简得，即 ，
而 …………10分
∵点在圆内，∴
∴，
∴，
∴的取值范围为．……………1２分