Question

如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB, PC的中点 。

（1）求证：EF∥平面PAD；

（2）求证：EF⊥CD；    

（3）若PA＝AD，求二面角P—DC—A的平面角的大小．

 

Answer 1

证：连AC，设AC中点为O，连OF、OE（1）在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点
       ∴ FO∥PA …………①在△ABC中，

∵ E、O分别为AB、AC的中点     

∴ EO∥BC ,又       

∵ BC∥AD   ∴ EO∥AD …………②

综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD  ∵ EF  平面EFO 

∴ EF∥平面PAD．

（2）在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD                          

∴ EO⊥CD  又      ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC  ∴ FO⊥平面AC              

∴ EO为EF在平面AC内的射影 ∴ CD⊥EF．

（3）PA＝AD，则PDA＝45，易证所求的二面角为PDA＝45。