Question

8．已知函数f（x）=x³-3x²，g（x）=ax²-4．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞），都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围；
（Ⅲ）函数f（x）的图象是否为中心对称图形，如果是，请写出对称中心；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）由题意，利用函数极值的概及求解过程即可；
（II）由题意若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），可以转化为构造新函数，求新函数在定义域下的最值．
（Ⅲ）函数f（x）的图象是中心对称图形，其对称中心是（1，-2）

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-6x，
由f′（x）=0，
可得x=0或x=2
f′（x），f（x）随x变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

所以，当x=0时，f（x）有极大值0，
当x=2时，f（x）有极小值-4，
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-g（x），则F（x）=x³-（3+a）x²+4，
法一：F′（x）=3x²-2（3+a）x，由F′（x）=0，可得$x=0\;或\;x=\frac{2（3+a）}{3}$
①当$\frac{2（3+a）}{3}≤0$，即a≤-3时，F′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，
所以，此时F（0）=4为最小值，所以F（x）≥0恒成立，即f（x）≥g（x）
②当$\frac{2（3+a）}{3}＞0$，即a＞-3时，

x	0	$（0，\;\frac{2（3+a）}{3}）$	$\frac{2（3+a）}{3}$	$（\;\frac{2（3+a）}{3}，\;+∞）$
f′（x）	0	-	0	+
f（x）		减		增

所以，当$x=\frac{2（3+a）}{3}$时，F（x）取得最小值，若要满足f（x）≥g（x），则$F（\frac{2（3+a）}{3}）≥0$$F（\frac{2（3+a）}{3}）={[\frac{2（3+a）}{3}]^3}-（3+a）{[\frac{2（3+a）}{3}]^2}+4=-\frac{4}{27}{（3+a）^3}+4$
由$-\frac{4}{27}{（3+a）^3}+4≥0$，得a≤0，
所以-3＜a≤0，
由①②可得a的取值范围是a≤0．
法二：由f（x）≥g（x），得$a≤x+\frac{4}{x^2}-3$，
令$G（x）≤x+\frac{4}{x^2}-3$${G^'}（x）≤1-\frac{8}{x^3}$，
由G′（x）=0，得x=2，当0＜x＜2时，G′（x）＜0，
当x＞2时，G′（x）＜0，
所以，当x=2时，G（x）在[0，+∞）上取得最小值，即G（2）=0
因为a≤G（x），以a≤0
（Ⅲ）函数f（x）的图象是中心对称图形，
其对称中心是（1，-2）

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、分类讨论得出思想方法等是解题的关键，属于中档题