Question

3．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}（{x≤0}）\\ \sqrt{x}（{x＞0}）\end{array}\right.$若函数g（x）=f（x）-k（x-1）有且只有一个零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1）
• B． （0，+∞）
• C． （-1，0）
• D． （-∞，-1）∪（0，+∞）

Answer 1

分析 原问题等价于函数y=f（x），与y=k（x-1）的图象的图象只有一个的交点，作出函数的图象，数形结合可得答案．

解答 解：函数g（x）=f（x）-k（x-1）有且只有一个零点，
∴f（x）-k（x-1）=0，
即：f（x）=k（x-1），
分别画出y=f（x），与y=k（x-1）的图象，如图所示：
而y=k（x-1）的图象恒过点（1，0），
当过点B时此时k=-1，有两个交点，
结合图象可得当k＜-1或x＞0时，函数g（x）=f（x）-k（x-1）有且只有一个零点，
故选：D

点评 本题考查函数的零点，转化为两函数图象的交点是解决问题的关键，属中档题．